【AI】浅谈梯度下降算法（实战篇） 前言 大家族 一维问题

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前言

在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent） 是最常采用的方法之一，另一种常用的方法是最小二乘法。

在 【AI】浅谈梯度下降算法（理论篇） 这篇博文中，我们已经学习了梯度下降算法的一些基本概念以及理论推导，接下来，我们将通过结合代码进行实战，理论与实践相结合，加深对知识点的理解；

大家族

尽管说是梯度下降，但其实它还是个庞大的家族，就类似于编程语言有 C、Java、Python 等之分，梯度下降算法也被分为了几大类，主要的有 BGD、SGD、MBGD：

  • 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent） : 梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新；

θi=θi−α∑j=0m(hθ(x0(j),x1(j),…,xn(j))−yj)xi(j)θ_i=θ_i−α∑_{j=0}^m(h_θ(x^{(j)}_0,x^{(j)}_1,…,x^{(j)}_n)−y_j)x_i^{(j)}θi=θi−αj=0∑m(hθ(x0(j),x1(j),…,xn(j))−yj)xi(j)
优点：全局最优解，易于并行实现；

缺点：计算代价大，数据量大时，训练过程慢；

  • 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent） : 和批量梯度下降法原理类似，区别在于求梯度时，没有用所有的 mmm 个样本的数据，而是仅仅选取一个样本 jjj 来求梯度；

θi=θi−α(hθ(x0(j),x1(j),…,xn(j))−yj)xi(j)θ_i=θ_i−α(h_θ(x^{(j)}_0,x^{(j)}_1,…,x^{(j)}_n)−y_j)x_i^{(j)}θi=θi−α(hθ(x0(j),x1(j),…,xn(j))−yj)xi(j)
优点：训练速度快；

缺点：准确度下降，并不是全局最优，不易于并行实现；

  • 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent） : 小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折中，也就是对于 mmm 个样本，我们采用 xxx 个样本来迭代，1<x<m1<x<m1<x<m。一般可以取 x=10x=10x=10，当然根据样本的数据量，可以调整这个 xxx 的值；

θi=θi−α∑j=tt+x−1(hθ(x0(j),x1(j),…,xn(j))−yj)xi(j)θ_i=θ_i−α∑_{j=t}^{t+x-1}(h_θ(x^{(j)}_0,x^{(j)}_1,…,x^{(j)}_n)−y_j)x_i^{(j)}θi=θi−αj=t∑t+x−1(hθ(x0(j),x1(j),…,xn(j))−yj)xi(j)
前两种方法的性能折中；

一维问题

例1：求 f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1f(x)=x2+1 的最小值

image.png

f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1f(x)=x2+1
使用梯度下降法求 f(x)=x2+1(−10≤x≤10)f(x) = x^2 + 1 \quad (-10 \leq x \leq 10)f(x)=x2+1(−10≤x≤10) 的最小值

因为 f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1f(x)=x2+1 是凸函数，从图中也可以一眼看出，其最小值就在 x=0x=0x=0 处；

接下来就使用梯度下降法进行求解：

1、目标函数，即 f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1f(x)=x2+1 ：

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py复制代码def func_target(x):
    return x ** 2 + 1

2、求解梯度，即 f(x)′=2xf(x)^{‘} = 2xf(x)′=2x ：

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py复制代码def func_gradient(x):
    return x * 2

3、梯度下降算法，需要注意几个参数的意义：

  • x : 当前 x 的值，可以通过参数提供初始值；
  • learn_rate : 学习率，相当于设置的步长；
  • precision : 收敛精度；
  • max_iters : 最大迭代次数；
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py复制代码def SGD(x=1, learn_rate=0.1, precision=1e-5, max_iters=10000):
    for i in range(max_iters):
        grad_cur = func_gradient(x)
        if abs(grad_cur) < precision:
            break
        x = x - learn_rate * grad_cur
        print(f"第 {i+1} 次迭代: x 值为 {x}, y 值为 {func_target(x)}")
    
    print(f"\n最小值 x = {x}, y = {func_target(x)}")
    return x

if __name__ == '__main__':
    SGD(x=10, learn_rate=0.2)

image.png

例2：求 12[(x1+x2−4)2+(2x1+3x2−7)2]\frac{1}{2}[(x_1+x_2-4)^2 + (2x_1+3x_2-7)^2]21[(x1+x2−4)2+(2x1+3x2−7)2] 的极值

通过梯度下降的方法成功求得了 的最小值之后是不是信心大增呢，接下来让我们逐步加深难度：使用梯度下降法求多项式 12[(x1+x2−4)2+(2x1+3x2−7)2]\frac{1}{2}[(x_1+x_2-4)^2 + (2x_1+3x_2-7)^2]21[(x1+x2−4)2+(2x1+3x2−7)2] 的极值；

在使用梯度下降求解这道题的过程中，就不得不注意到一个问题：梯度下降可能在局部最小的点收敛；

image.png

1、目标函数，即 12[(x1+x2−4)2+(2x1+3x2−7)2\frac{1}{2}[(x_1+x_2-4)^2 + (2x_1+3x_2-7)^221[(x1+x2−4)2+(2x1+3x2−7)2 ：

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py复制代码def func_target(x1, x2):
    return ((x1 + x2 - 4) ** 2 + (2*x1 + 3*x2 -7) ** 2) * 0.5

2、求解梯度，即 ∂f∂x1=(x1+x2−4)+2(2x1+3x2−7)\frac{∂f}{∂x_1} = (x_1+x_2-4)+2(2x_1+3x_2-7)∂x1∂f=(x1+x2−4)+2(2x1+3x2−7) 和 ∂f∂x2=(x1+x2−4)+3(2x1+3x2−7)\frac{∂f}{∂x_2} = (x_1+x_2-4)+3(2x_1+3x_2-7)∂x2∂f=(x1+x2−4)+3(2x1+3x2−7)：

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py复制代码def func_gradient(x1, x2):
    grad_x1 = (x1 + x2 - 4) + 2 * (2*x1 + 3*x2 -7)
    grad_x2 = (x1 + x2 - 4) + 3 * (2*x1 + 3*x2 -7)
    return grad_x1, grad_x2

3、梯度下降算法：

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py复制代码def SGD(x1=0, x2=0, learn_rate=0.01, precision=1e-6, max_iters=10000):
    y1 = func_target(x1, x2)
    for i in range(max_iters):
        grad_x1, grad_x2 = func_gradient(x1, x2)
        x1 = x1 - learn_rate * grad_x1
        x2 = x2 - learn_rate * grad_x2
        y2 = func_target(x1, x2)
        if (y1 - y2) < precision:
            break
        if y2 < y1: y1 = y2
        print(f"第 {i+1} 次迭代: x1 值为 {x1}, x2 值为 {x2}, 输出值为 {y2}")
    
    print(f"该多项式的极小值为 {y2}, ({x1}, {x2})")
    return x1, x2, y2

if __name__ == '__main__':
    SGD()

image.png

image.png

中间的迭代过程就省略了；

二维问题

当你通过自己的努力完成前两个例子之后，你是不是已经不满足于一维问题了呢，那么接下来我们进入二维问题：使用梯度下降法求 f(x,y)=−e−(x2+y2)f(x,y) = -e^{-(x^2+y^2)}f(x,y)=−e−(x2+y2) 在 [0,0][0,0][0,0] 处有最小值；

image.png

f(x,y)=−e−(x2+y2)f(x,y) = -e^{-(x^2+y^2)}f(x,y)=−e−(x2+y2)
通过这个例子，我们会发现梯度下降的局限性，先在这里留个悬念；

1、目标函数，即 f(x,y)=−e−(x2+y2)f(x,y) = -e^{-(x^2+y^2)}f(x,y)=−e−(x2+y2) ：

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py复制代码def func_target(cell):
    :param cell: 二维向量
    return -math.exp(-(cell[0] ** 2 + cell[1] ** 2))

2、求解梯度，即 ∂f∂x=2xe−(x2+y2)\frac{∂f}{∂x} = 2xe^{-(x^2+y^2)}∂x∂f=2xe−(x2+y2) 和 ∂f∂y=2ye−(x2+y2)\frac{∂f}{∂y} = 2ye^{-(x^2+y^2)}∂y∂f=2ye−(x2+y2)：

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py复制代码def func_gradient(cell):
    :param cell: 二维向量
    grad_x = 2 * cell[0] * math.exp(-(cell[0] ** 2 + cell[1] ** 2))
    grad_y = 2 * cell[1] * math.exp(-(cell[0] ** 2 + cell[1] ** 2))
    return np.array([grad_x, grad_y])

3、梯度下降算法：

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py复制代码def SGD(x=np.array([0.1, 0.1]), learn_rate=0.1, precision=1e-6, max_iters=10000):
    for i in range(max_iters):
        grad_cur = func_gradient(x)
        if np.linalg.norm(grad_cur, ord=2) < precision:
            break
        x = x - learn_rate * grad_cur
        print(f"第 {i+1} 次迭代: x 值为 {x}, y 值为 {func_target(x)}")
    
    print(f"\n最小值 x = {x}, y = {func_target(x)}")
    return x

4、当 x0x0x0 的初始值设为 [1,−1][1,−1][1,−1] 时，一切都显得很正常：

image.png

5、但当我们把 x0x0x0 的初始值设为 [3,−3][3,−3][3,−3] 时，结果是出乎意料的：
image.png

梯度下降法没有找到真正的极小值点！

局限性

继续讲述上面的非预期结果：

如果仔细观察目标函数的图像，以及梯度下降法的算法原理，你就很容易发现问题所在了。在 [3,−3][3,−3][3,−3] 处的梯度就几乎为 0 了！

由于“梯度过小”，梯度下降法可能无法确定前进的方向了。即使人为增加收敛条件中的精度，也会由于梯度过小，导致迭代中前进的步长距离过小，循环时间过长。

梯度下降法实现简单，原理也易于理解，但它有自身的局限性，因此有了后面很多算法对它的改进。

对于梯度过小的情况，梯度下降法可能难以求解。

此外，梯度下降法适合求解只有一个局部最优解的目标函数，对于存在多个局部最优解的目标函数，一般情况下梯度下降法不保证得到全局最优解（由于凸函数有个性质是只存在一个局部最优解，所有也有文献的提法是：当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解才是全局最优解）。

由于泰勒公式的展开是近似公式，要求迭代步长要足够小，因此梯度下降法的收敛速度并非很快的。

后记

上述就是本篇博文的所有内容了，通过实战对梯度下降知识点进行巩固和加深印象，并且层层收入，希望读者能有所收获！

对于理论还不是很清楚的读者，可以回看上篇博文：【AI】浅谈梯度下降算法（理论篇）；

参考：

📝 上篇精讲：【AI】浅谈梯度下降算法（理论篇）

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本文转载自: 掘金

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